Details
| Originalsprache | Englisch |
|---|---|
| Qualifikation | Doctor rerum naturalium |
| Gradverleihende Hochschule | |
| Betreut von |
|
| Datum der Verleihung des Grades | 20 Dez. 2023 |
| Erscheinungsort | Hannover |
| Publikationsstatus | Veröffentlicht - 2024 |
Abstract
mens für quanten-klassische Hybridsysteme. Der Fokus liegt dabei auf Systemen
mit kontinuierlichen Variablen, welche durch die kanonischen Vertauschungsrela-
tionen beschrieben werden, wobei wir uns im Speziellen auf den quasifreien Fall
konzentrieren werden. Hierbei haben wir zwei große Aufgaben zu lösen: Die erste
besteht darin sowohl den Zustandsraum, als auch die Observablenalgebra rigoros zu
definieren und ihre natürliche Verbindung innerhalb des Formalismus zu präzisieren.
Als zweites wollen wir auf dieser Struktur quasifreie Kanäle beschreiben, für die
sowohl das Schrödinger-Bild, als auch das das Heisenberg-Bild definiert sind.
Wir beginnen mit einer allgemeinen Einführung in Operatoralgebren und alge-
braische Quantentheorie. Besonderen Wert legen wir dabei auf einige der mathe-
matischen Details, die bei der Arbeit mit reinen Quantensystemen oft als selbst-
verständlich angesehen werden. Ausgehend davon diskutieren wir verschiedene Mög-
lichkeiten und deren Vor- bzw. Nachteile bei der Beschreibung von klassischen Syste-
men, analog zum üblichen Formalismus der Quantenmechanik. Eines der wichtigsten
Ergebnisse dabei ist, dass es keinen Kandidaten für einen klassischen Zustandsraum
bzw. eine klassische Observablenalgebra gibt, der direkt mit einem Quantensys-
tem zu einem Hybrid zusammengefügt werden kann und gleichzeitig alle unsere An-
forderungen an ein solch teilweises Quanten- und teilweises klassisches System erfüllt.
Obwohl diese einfachen Hybride nicht für einen allgemeinen Ansatz ausreichen, ver-
wenden wir einen dieser Kandidaten, um ein Zwischenergebnis für den konsequenten
Hybridansatz zu beweisen: Wir zeigen eine Verallgemeinerung der klassischen Dif-
fusionsgeneratoren für Hybride, bei welcher der Informationsaustausch zwischen der
klassischen und der Quantenseite durch das induzierte Rauschen des Quantensys-
tems limitiert ist.
Dann widmen wir uns den Lösungen für die oben formulierten Aufgaben: Wir
beginnen mit der CCR-Algebra, in der einige Variablen untereinander kommu-
tieren und damit ein klassisches Teilsystem beschreiben. Nachdem wir Darstel-
lungstheorie dieser Algebra betrachtet haben, können wir hybride Zustände als
kontinuierliche charakteristische Funktionen beschreiben. Der entsprechende Zu-
standsraum ist gleich dem Zustandsraum einer nicht-unitalen C*-Algebra. Diese
C*-Algebra ist für sich zwar keine geeignete Observablenalgebra, aber wir unter-
suchen mehrere mögliche Untermengen in ihrem Bidual, welche hierfür benutzt
werden können. Diese Untermengen besitzen sowohl eine praktische Charakte-
risierung, als auch eine direkte Möglichkeit zur Definition eines Heisenberg-Bildes.
Konkret sind diese Untermengen als operatorwertige Funktionen auf dem klassischen
Phasenraum gegeben, wobei sie sich durch unterschiedliche Vorraussetzungen an
die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden, wie z.B. universelle Messbarkeit
oder starke-*-Stetigkeit. Weiter beschreiben wir quasifreie Kanäle und ihre Eigen-
schaften, einschließlich einer Zustands-Kanal-Korrespondenz, ein Faktorisierungs-
theorem und einige grundlegende physikalische Operationen. All dies funktioniert
unter der Annahme eines quasifreien Systems, aber wir zeigen, dass auch die be-
kannte Untermenge der Gaußschen Systeme sich in diesen Formalismus eingliedert
und wie erwartet verhält.
Zitieren
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Hannover, 2024. 187 S.
Publikation: Qualifikations-/Studienabschlussarbeit › Dissertation
}
TY - BOOK
T1 - Quantum-Classical hybrid systems and their quasifree transformations
AU - Dammeier, Lars
PY - 2024
Y1 - 2024
N2 - The focus of this work is the description of a framework for quantum-classical hybrid systems. The main emphasis lies on continuous variable systems described by canonical commutation relations and, more precisely, the quasifree case. Here, we are going to solve two main tasks: The first is to rigorously define spaces of states and observables, which are naturally connected within the general structure. Secondly, we want to describe quasifree channels for which both the Schrödinger picture and the Heisenberg picture are well defined.We start with a general introduction to operator algebras and algebraic quantum theory. Thereby, we highlight some of the mathematical details that are often taken for granted while working with purely quantum systems. Consequently, we discuss several possibilities and their advantages respectively disadvantages in describing classical systems analogously to the quantum formalism. The key takeaway is that there is no candidate for a classical state space or observable algebra that can be put easily alongside a quantum system to form a hybrid and simultaneously fulfills all of our requirements for such a partially quantum and partially classical system. Although these straightforward hybrid systems are not sufficient enough to represent a general approach, we use one of the candidates to prove an intermediate result, which showcases the advantages of a consequent hybrid ansatz: We provide a hybrid generalization of classical diffusion generators where the exchange of information between the classical and the quantum side is controlled by the induced noise on the quantum system.Then, we present solutions for our initial tasks. We start with a CCR-algebra where some variables may commute with all others and hence generate a classical subsystem. After clarifying the necessary representations, our hybrid states are given by continuous characteristic functions, and the according state space is equal to the state space of a non-unital C*-algebra. While this C*-algebra is not a suitable candidate for an observable algebra itself, we describe several possible subsets in its bidual which can serve this purpose. They can be more easily characterized and will also allow for a straightforward definition of a proper Heisenberg picture. The subsets are given by operator-valued functions on the classical phase space with varying degrees of regularity, such as universal measurability or strong*-continuity. We describe quasifree channels and their properties, including a state-channel correspondence, a factorization theorem, and some basic physical operations. All this works solely on the assumption of a quasifree system, but we also show that the more famous subclass of Gaussian systems fits well within this formulation and behaves as expected.
AB - The focus of this work is the description of a framework for quantum-classical hybrid systems. The main emphasis lies on continuous variable systems described by canonical commutation relations and, more precisely, the quasifree case. Here, we are going to solve two main tasks: The first is to rigorously define spaces of states and observables, which are naturally connected within the general structure. Secondly, we want to describe quasifree channels for which both the Schrödinger picture and the Heisenberg picture are well defined.We start with a general introduction to operator algebras and algebraic quantum theory. Thereby, we highlight some of the mathematical details that are often taken for granted while working with purely quantum systems. Consequently, we discuss several possibilities and their advantages respectively disadvantages in describing classical systems analogously to the quantum formalism. The key takeaway is that there is no candidate for a classical state space or observable algebra that can be put easily alongside a quantum system to form a hybrid and simultaneously fulfills all of our requirements for such a partially quantum and partially classical system. Although these straightforward hybrid systems are not sufficient enough to represent a general approach, we use one of the candidates to prove an intermediate result, which showcases the advantages of a consequent hybrid ansatz: We provide a hybrid generalization of classical diffusion generators where the exchange of information between the classical and the quantum side is controlled by the induced noise on the quantum system.Then, we present solutions for our initial tasks. We start with a CCR-algebra where some variables may commute with all others and hence generate a classical subsystem. After clarifying the necessary representations, our hybrid states are given by continuous characteristic functions, and the according state space is equal to the state space of a non-unital C*-algebra. While this C*-algebra is not a suitable candidate for an observable algebra itself, we describe several possible subsets in its bidual which can serve this purpose. They can be more easily characterized and will also allow for a straightforward definition of a proper Heisenberg picture. The subsets are given by operator-valued functions on the classical phase space with varying degrees of regularity, such as universal measurability or strong*-continuity. We describe quasifree channels and their properties, including a state-channel correspondence, a factorization theorem, and some basic physical operations. All this works solely on the assumption of a quasifree system, but we also show that the more famous subclass of Gaussian systems fits well within this formulation and behaves as expected.
U2 - 10.15488/15893
DO - 10.15488/15893
M3 - Doctoral thesis
CY - Hannover
ER -