TY - BOOK

T1 - Mesh Refinement Strategies for the Adaptive Isogeometric Method

AU - Morgenstern, Philipp

N1 - Doctoral thesis

PY - 2017/9

Y1 - 2017/9

N2 - In dieser Arbeit werden vier Netzverfeinerungsalgorithmen ʀᴇꜰɪɴᴇ_ʜʙ, ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛʜʙ, ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛs2D und ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛsnD für die Adaptive Isogeometrische Methode unter Verwendung von multivariaten hierarchischen B-Splines, multivariaten verkürzten hierarchischen B-Splines, bivariaten T-Splines bzw. multivariaten T-Splines vorgestellt. Wir untersuchen für ʀᴇꜰɪɴᴇ_ʜʙ und ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛʜʙ die begrenzte Überlappung von Basisfunktionen, die Beschränktheit von Netzüberlagerungen und die lineare Komplexität im Sinne einer uniformen Obergrenze für das Verhältnis von generierten und markierten Elementen. Die Existenz einer oberen Schranke für die Überlappung der Basisfunktionen impliziert, dass die Systemmatrix des zu lösenden linearen Gleichungssystems dünn besetzt ist, d.h. sie hat eine einheitlich begrenzte Anzahl von Nicht-Null-Einträgen in jeder Zeile und Spalte. Die obere Schranke für die Anzahl der Elemente in der gröbsten gemeinsamen Verfeinerung (der Überlagerung) zweier Netze sowie die lineare Komplexität sind entscheidende Bestandteile für einen späteren Nachweis der Ratenoptimalität des Verfahrens. Für ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛs2D und ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛsnD ist die Überlappung der Basisfunktionen a priori begrenzt und musste nicht weiter untersucht werden. Wir untersuchen die Begrenztheit von Netzüberlappungen, die lineare Unabhängigkeit der T-Splines, die Schachtelung der T-Spline-Räume und die lineare Komplexität wie oben beschrieben. Die Schachtelung der Spline-Räume ist insofern entscheidend, als sie die so genannte Galerkin-Orthogonalität impliziert, welche die Näherungslösung als beste Annäherung an die exakte Lösung charakterisiert in Bezug auf eine problemabhängige Norm. Insgesamt ebnet diese Arbeit den Weg für einen Beweis der Ratenoptimalität für die Adaptive Isogeometrische Methode mit HB-Splines, THB-Splines oder T-Splines in jeder Raumdimension. Um die in dieser Arbeit vorgeschlagenen Methoden und theoretischen Ergebnisse zu rechtfertigen, unterstreichen numerische Experimente ihre praktische Relevanz, indem sie zeigen, dass sie von den derzeit vorherrschenden Verfeinerungsstrategien nicht übertroffen werden. Als Ausblick auf zukünftige Arbeiten skizzieren wir einen Ansatz für den Umgang mit Nullknotenintervallen und Mehrfachlinien im Inneren des Gebiets, die in CAD-Anwendungen zur Kontrolle der Stetigkeit der Spline-Funktionen verwendet werden, und wir skizzieren auch grundlegende Ideen für die lokale Verfeinerung von zweidimensionalen Netzen, die keine Tensorproduktstruktur haben.[ Übersetzt mit www.DeepL.com/Translator (kostenlose Version) ]

AB - In dieser Arbeit werden vier Netzverfeinerungsalgorithmen ʀᴇꜰɪɴᴇ_ʜʙ, ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛʜʙ, ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛs2D und ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛsnD für die Adaptive Isogeometrische Methode unter Verwendung von multivariaten hierarchischen B-Splines, multivariaten verkürzten hierarchischen B-Splines, bivariaten T-Splines bzw. multivariaten T-Splines vorgestellt. Wir untersuchen für ʀᴇꜰɪɴᴇ_ʜʙ und ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛʜʙ die begrenzte Überlappung von Basisfunktionen, die Beschränktheit von Netzüberlagerungen und die lineare Komplexität im Sinne einer uniformen Obergrenze für das Verhältnis von generierten und markierten Elementen. Die Existenz einer oberen Schranke für die Überlappung der Basisfunktionen impliziert, dass die Systemmatrix des zu lösenden linearen Gleichungssystems dünn besetzt ist, d.h. sie hat eine einheitlich begrenzte Anzahl von Nicht-Null-Einträgen in jeder Zeile und Spalte. Die obere Schranke für die Anzahl der Elemente in der gröbsten gemeinsamen Verfeinerung (der Überlagerung) zweier Netze sowie die lineare Komplexität sind entscheidende Bestandteile für einen späteren Nachweis der Ratenoptimalität des Verfahrens. Für ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛs2D und ʀᴇꜰɪɴᴇ_ᴛsnD ist die Überlappung der Basisfunktionen a priori begrenzt und musste nicht weiter untersucht werden. Wir untersuchen die Begrenztheit von Netzüberlappungen, die lineare Unabhängigkeit der T-Splines, die Schachtelung der T-Spline-Räume und die lineare Komplexität wie oben beschrieben. Die Schachtelung der Spline-Räume ist insofern entscheidend, als sie die so genannte Galerkin-Orthogonalität impliziert, welche die Näherungslösung als beste Annäherung an die exakte Lösung charakterisiert in Bezug auf eine problemabhängige Norm. Insgesamt ebnet diese Arbeit den Weg für einen Beweis der Ratenoptimalität für die Adaptive Isogeometrische Methode mit HB-Splines, THB-Splines oder T-Splines in jeder Raumdimension. Um die in dieser Arbeit vorgeschlagenen Methoden und theoretischen Ergebnisse zu rechtfertigen, unterstreichen numerische Experimente ihre praktische Relevanz, indem sie zeigen, dass sie von den derzeit vorherrschenden Verfeinerungsstrategien nicht übertroffen werden. Als Ausblick auf zukünftige Arbeiten skizzieren wir einen Ansatz für den Umgang mit Nullknotenintervallen und Mehrfachlinien im Inneren des Gebiets, die in CAD-Anwendungen zur Kontrolle der Stetigkeit der Spline-Funktionen verwendet werden, und wir skizzieren auch grundlegende Ideen für die lokale Verfeinerung von zweidimensionalen Netzen, die keine Tensorproduktstruktur haben.[ Übersetzt mit www.DeepL.com/Translator (kostenlose Version) ]

UR - http://hdl.handle.net/20.500.11811/7237

M3 - Doctoral thesis

ER -